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    牛顿问题、鸡兔问题、年龄问题、植树问题、盈亏问题、流水问题

    时间:2015-02-08 02:04 来源:悦读空间 作者:wanshehui.com 点击:
    牛顿问题、鸡兔问题、年龄问题、植树问题、盈亏问题、流水问题

    第一章牛顿问题


    牛顿问题,俗称“牛吃草问题”,牛每天吃草,草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步:
    1、求出每天长草量;
    2、求出牧场原有草量;
    3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量);
    4、最后求出可吃天数。1、牧场上有一片青草,牛每天吃草,草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10头牛可以吃20天,供给15头牛吃,可以吃10天。供给25头牛吃,可以吃多少天?
    分析:


    ==============================

    如果草的总量一定,那么,牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够10头牛吃20天,够15头牛吃10天,10×20和15×10两个积不相等,这是因为10头牛吃的时间长,长出的草多,所以,用这两个积的差,除以吃草的天数差,可求出每天的长草量。
    ①、求每天的长草量
    ( 10×20-15×10 )÷( 20-10 )= 5 ( 单位量)
    说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
    ②、求牧场原有草量
    因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天,那么,10头牛去吃,每天只有10-5=5 ( 头 )牛吃原有草量,20天吃完,原有草量应是:( 10-5 )×20=100 ( 单位量)
    或:10头牛吃20天,一共吃草量是 10×20=200 ( 单位量)
    一共吃的草量
    - 20天共生长的草量

    原有草量
    200 - 100 = 100(单位量)
    ③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
    因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天,25头牛去吃,(吃的- 长的 = 消耗原草量 )
    即:25 - 5= 20 ( 单位量)
    ④、25头牛去吃,可吃天数
    牧场原有草量 ÷ 25头牛每天实际消耗原有草量 = 可吃天数
    100 ÷ 20 =5 ( 天)
    解: ( 10×20-15×10 )÷( 20-10 )
    =50÷10
    =5 (单位量) ------- 每天长草量

    ( 10-5 )×20
    =5×20
    =100 ( 单位量) ------- 原有草量

    100÷ ( 25-5 )
    =100÷20
    =5 (天)
    答:可供给25头牛吃 5 天。

    ==============================
    2、牧场上有一片青草,草每天以均匀的速度生长,这些草供给20头牛吃,可以吃20天;供给100头羊吃,可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量,那么20头牛,100只羊同时吃这片草,可以吃几天?

    ==============================

    分析:
    1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量,那么20头牛就相当于4×20=80 ( 只)羊吃草量。
    每天长草量:
    ( 80×20 -100×12 )÷ ( 20-12 )
    =400÷8
    =50 (单位量)
    原有草量:
    ( 80-50 )×20
    =30×20
    =600 (单位量)
    20头牛和100只羊同时吃的天数:
    600÷( 80+100-50 )
    =600÷130
    =4 (天)
    答:20头牛,100只羊同时吃这片草,可以吃4 天。

    ==============================
    3、有三片牧场,牧场上的草长得一样密,一样快。它的面积分别是 3. 3公顷、2. 8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草;17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问,多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草?

    ==============================

    分析:
    ①、第一片牧场22头牛54天吃完3. 3公顷所有的草,那么,每公顷草量是(包括生长的):
    22×54÷3. 3= 360 ( 单位量)
    ②、第二片牧场:17头牛84天吃完2. 8公顷所有的草,那么,每公顷草量是:
    17×84÷2. 8= 510 ( 单位量)
    ③、每公顷每天的长草量是:
    ( 510-360 )÷( 84-54 )=5 (单位量)
    ④、每公顷原有草量是:
    360-5×54=90 ( 单位量)
    ⑤、第三片4公顷24天共有草量是:
    90×4+5×24×4= 840 ( 单位量)
    ⑥、可供多少头牛吃24天:
    840÷24=35 (头)
    解: ( 17×84÷2.8-22×54÷3.3 )÷( 84-54 )
    =150÷30
    =5 (单位量) ------ 每公顷每天长草量

    22×54÷3. 3-5×54
    =360-270
    =90 (单位量) -------- 每公顷原有草量

    90×4+5×4×24
    =360+480
    =840 ( 单位量) -------4公顷24天共有草量

    840÷24=35 ( 头)
    答:35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。

    ==============================

    4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟;用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。问,用9台这样的水泵,多少分钟可以抽干这井里的水?


    ==============================

    分析:
    用水泵抽井里的泉水,泉水总是按一定大小不断往上涌,这就跟牧场的草一样均匀地生长,因此,把它当作牛吃草问题同解。
    每分钟泉水涌出量:
    ( 3×40-6×16 )÷( 40-16 )
    =2 4÷24
    =1 (单位量)

    井里原有水量:
    ( 3-1 )×40
    =2×40
    =80 (单位量)

    9台几分钟可以抽干:
    80÷( 9-1 )
    =80÷8
    =10 (分钟)
    答:用9台这样的水泵,10分钟可以抽干这井里的水。

    ==============================

    5、火车站的售票窗口8点开始售票,但8点以前早就有人来排队,假如每分钟来排队的人一样多,开始售票后,如果开3个窗口售票,30分钟后,不再有人排队;如果开5个窗口售票,15分钟后,不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的?

    ==============================

    分析:
    到窗口排队售票的人,包括两部分,一部分是8点以前已等候的人( 相似于牛吃草问题中的原有草量),另一部分是开始售票时,逐步来的人( 相似于每天长草量),开售票窗口多少,相似于“吃草的牛”多少,售票时间相似于“牛吃草”天数。因此,按“牛吃草问题”来解答。
    每分钟来排队的人:
    ( 3×30-5×15 )÷( 30-15 )
    =15÷15
    =1 (人)

    售票前已到的人数:
    3×30-1×30
    =90-30
    =60 (人)

    售票前已到的人共用的时间:
    60÷1=60 (分钟)
    60分钟是1小时,即第一个来排队的人是售票前1小时到达的,8-1=7
    答:第一个来排队的人是7点钟到达的。


     

    第二章鸡兔问题


    解题关健:鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一,也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题,一般采用假设法,假设全部是鸡,算出脚数,与题中给出的脚数相比较,看差多少,每差一个(4-2)只脚,就说明有1只兔,将所差的脚数除以( 4-2 ),就可求出兔的只数。同理,假设全部是兔,可求出鸡。
    1、鸡兔同笼共80头,208只脚,鸡和兔各有几只?


    ==============================

    分析:
    假设这80头全是鸡,那么,脚应是2×80=160 (只),比实际少 208-160=48 (只)脚,这是因为1只兔有4只脚,把它看成是2只脚的鸡了,每只兔少算了2只脚,共少算了48只脚,48里面有几个2,就是几只兔。
    解: ( 208-2×80 )÷( 4-2 )
    =48÷2
    =24 (只) ------ 兔
    80-24=56 (只)
    答:鸡有56只,兔有24只。
    也可以假设80只全是兔,解答如下:
    解: ( 4×80-208 )÷( 4-2 )
    =112÷2
    =56 (只) ------ 鸡
    80-56=24 ( 只)

    ==============================
    2、小明参加一次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得10分,错一题扣5分,小明共得了70分,他做对了几道题?


    ==============================

    分析:
    假设他做对了10道题,那么应得10×10=100 (分),而实际只得70分,少30分,这是因为每做错一题,不但得不到10分,反而倒扣5分,这样做错一题就会少10+5=15 (分),看30分里面有几个15分,就错了几题。
    解: ( 10×10-70 )÷( 10+5 )
    =30÷15
    =2 (道) ------ 错题
    10-2=8 (道)
    答:他做对了8道题。

    ==============================

    3、有面值5元和10元的钞票共100张,总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张?

    ==============================

    分析:
    假设100张钞票全是5元的,那么总值就是5×100=500 (元),与实际相差800-500=300 元
    差的300元,是因为将10元1张的算作了5元的,每张少计算10-5=5 (元),差的300元里面有多少个5元,就是多少张10元的钞票。
    解: ( 800-5×10 )÷( 10-5 )
    =300÷5
    =60 (张) ------ 10元面值
    100-60=40 (张)
    答:有10元的钞票60张,5元的钞票40张。

    ==============================

    4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只,共140条腿和23对翅膀,三种动物各多少只?( 蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿2对翅膀,蝉6条腿1对翅膀 )


    ==============================

    分析:
    假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿,那么总腿数是6×21=126 (条),比实际少140-126=14( 条),这是因为一只蜘蛛是8条腿,把它算作6条腿,每只蜘蛛少计算了8-6=2 (条),少算的14条里面有几个2条,就是几只蜘蛛,即14÷2=7 (只)。从总只数里减7只蜘蛛,就得21-7=14 (只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓,那么翅膀应是2×14=28 (对)比实际多28-23=5 (对),这是因为蝉是1对翅膀,把它算成2对了,每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对,就是几只蝉。求出了蝉,蜻蜓可求。
    解: ( 140-6×21 )÷( 8-6 )
    =14÷2
    =7 (只) ------ 蜘蛛
    21-7=14 (只)
    ( 2×14-23 )÷( 2-1 )
    =5÷1
    =5 (只) ------- 蝉
    14-5=9 (只) ------ 蜻蜓
    答:蜘蛛7只,蜻蜓9只,蝉5只。

     

     

    第三章年龄问题



    解题关键:“年龄问题”的基本规律是:不管时间如何变化,两人的年龄的差总是不变的,抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时,可借助线段图分析,结合和倍、差倍、和差等问题分析方法,灵活解题。

    1、爸爸今年42岁,女儿今年10岁,几年前爸爸的年龄是女儿的5倍?


    ==============================

    分析:
    要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍,首先应求出那时女儿的年龄是多少?爸爸的年龄是女儿的5倍,女儿的年龄是1倍,爸爸比女儿多5-1=4 (倍),年龄多42-10=32 (岁),对应,可求出1 倍是多少,即女儿当时的年龄。
    解: ( 42-10 )÷( 5-1 )
    =32÷4
    =8 (岁)
    10-8=2 (年)
    答:2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。



    ==============================
    2、父亲今年比儿子大36岁,5年后父亲的年龄是儿子的4倍,今年儿子几岁?


    ==============================

    分析:
    父亲今年比儿子大36岁,5年后仍然大36岁。父亲年龄是儿子的4倍,说明儿子的年龄是1倍,父亲比儿子大4-1=3 (倍),可求出1倍是多少岁,即5年后儿子的年龄,那么,现在几岁可求出。
    解: 36÷( 4-1 )
    =36÷3
    =12 (岁)
    12-5=7 (岁)
    答:今年儿子7岁。

    ==============================


    3、今年母女年龄和是45岁,5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍,今年妈妈和女儿各多少岁?

    ==============================

    分析:
    今年母女年龄和是45岁,五年后母女年龄和是45+5×2=55 (岁),母亲年龄是女儿的4倍,女儿年龄是1倍,母女年龄和的倍数是4+1=5 (倍),对应,可求出5年后女儿的年龄,今年她们的年龄可求。
    解: ( 45+5×2 )÷( 4+1 )
    =55÷5
    =11 (岁)
    11-5=6 ( 岁) 45-6=39 (岁)
    答:妈妈今年39岁,女儿6岁。

    ==============================


    4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁,3年后甲比乙大6岁,丙比乙小3岁,三年后甲、乙、丙三人各几岁?


    ==============================

    分析:
    如图: 甲 |--------------------------------------------------------|
    乙 |-----------------------------------------| 6岁
    丙 |----------------------------------| 3岁
    三年后,三人年龄和是60+3×3=69 (岁),但三人的年龄差不变。从图中可以看出,从三人年龄和中减6加3,刚好等于3个乙的年龄。
    解: ( 60+3×3 -6+3 )÷3
    =66÷3
    =22 (岁)
    22+6=28 (岁) 22-3=19 (岁)
    答:三年后甲28岁,乙22岁,丙19岁。


     

    第四章植树问题




    解题关键:1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。
    2、要分清图形是否封闭,然后确定是沿线段栽,还是沿周长栽。
    3、关系式为:沿线段植树 棵数=总距离÷棵距+1
    沿周长植树 棵数=总距离÷棵距

    1、在一段4 0米长的人行道一侧栽树,每隔5米栽一棵樟树,共需要栽樟树多少棵?

    ==============================

    分析:
    如图: ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
    5米
    从图上可以看出,“每隔5米栽一棵”就是将40÷5=8 ,平均分成8段,因两端都有一棵树,所以,沿人行道一侧栽树,属沿线段植树。
    解: 4 0÷5+1
    =8+1
    =9(棵)
    答:需要栽樟树9棵。

    ==============================

    想一想:如果这条人行道两侧都这样栽,需要栽多少棵?应怎样算?

    2、沿一段公路两旁种杨树,每隔3米种一棵,一共种了502棵。这段公路长多少米?

    ==============================

    分析:
    沿公路两旁共种502棵,将502÷2=251(棵),就得到公路一旁种树棵数(注意将两旁总棵数除以2),它属于沿线段植树问题,根据关系式,将棵数减1,乘棵距,可求出总距离。
    解: 502÷2=251(棵)
    3×(251-1)
    =3×250
    =750(米)
    答:这段公路长750米。

    ==============================


    3、把一根4 8厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒,如果锯一段需要4分钟,锯完这根铁棒需要多少分钟?

    ==============================

    分析:如图

    将4 8厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒,就是求4 8厘米里面有几个8厘米,就可锯成几段,从图上可以看出“锯的次数比段数要少1 ”,锯一段需要4分钟,实际是锯一次要4分钟,求锯完这根铁棒需要多少分钟,先要求出共锯多少次。
    解: 48÷8-1=5(次)
    4×5=20(分钟)
    答:锯完这根铁棒需要20分钟。

    ==============================


    4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树,一共种了180棵。再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季,问,一共需要多少株月季?


    ==============================

    分析:
    在人工湖周围种树,属于在封闭图形上栽树问题,即沿周长植树,根据关系式:
    总距离=棵距×棵数,人工湖周长为 6×180=1080(米)
    如果湖的周围没有柳树,全是每隔2米种的月季,月季共 1080÷2=54 0(株),而实际其中种有柳树180棵,那么,月季株数应为 540-180=360(株)。
    解: 6×180÷2-180
    =540-180
    =360(株)
    答:一共需要360株月季。

    ==============================

    解法二:
    ==============================

    人工湖周围每隔6米种一棵柳树,共种180棵,就是将湖的周长平均分成180段,每段长6米,因为这6米的两头已种柳树,所以这中间只能种6÷2-1=2(株)月季,共需月季列式为:
    (6÷2-1)×180
    =2×180
    =360(株)

    ==============================


     

    第五章盈亏问题



    解答公式: 两次分配的结果差÷两次分配数差=人数
    或,由于参加分配的总人数不变,参加分配的物品总数不变,因此,可根据
    第一种分法的人数=第二种分法的人数
    第一种分法物品总数=第二种分法物品总数,列出方程来解。

    1、一批树苗,如果每人种树苗8棵,则缺少3棵;如果每人种7棵,则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少?这批树苗共有多少棵?


    ==============================

    分析:
    每人种8棵,则缺少3棵,也就是少3棵。每人种7棵,则有4棵没人种,也就是多4棵。
    那么两次分配的结果差是3+4=7, 两次分配的数差是 8-7=1
    种树人数是:7÷1=7(人) 树苗总数是:8×7-3=53(人)
    解法一: (3+4)÷(8-7)
    =7÷1
    =7(人)
    8×7-3=53(棵)
    答:参加种树的人数是7人,这批树苗共有53棵。

    ==============================


    解法二:
    ==============================

    这道题种树人数不变,树苗总棵数不变,若设种树人数为X人,根据第一种分法的树苗总棵数=第二种分法的树苗总棵数,列方程解。
    解: 设种树人数为X人,列方程得
    8X-3=7X+4
    8X-7X=4+3
    X=7
    8×7-3=53(棵)
    答:(略)


    ==============================


    2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友,如果每人分6个,则少10个,每人分4个,还少2个。有多少小朋友?有多少个苹果?


    ==============================

    分析:
    两次分配都不足,则两次不足数量差就是两次分配的结果差,结果差÷分配差=人数
    解: (10-2)÷(6-4)
    =8÷2
    =4(人)
    6×4-10=14(个)
    答:有4个小朋友,有14个苹果。

    ==============================



    3、学校安排新生住宿,若每间宿舍住6人,则多出34人;若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍,求住宿的学生和宿舍各有多少?

    ==============================

    分析:
    每间住6人,多出34人,就是不足34张床位;每间住7人,多出4间宿舍,就是多出7×4=28张床位。两次分配的结果差就是(34+28),结果差÷分配差=宿舍
    解: (34+28)÷(7-6)
    =62÷1
    =62(间)
    6×62+34=406(人)
    答:住宿的学生共406人,宿舍有62间。

    ==============================



    4、学生分练习本,其中两个人每人分6本,其余每人分4本,则多2本;如果有一个学生分8本,其余每人分6本,则不足18本。学生有多少人?练习本有多少本?

    ==============================

    分析:
    1、有两人分6本,其余每人分4本,余2本,若将分6本的这两人也分4本,那么这两人又每人余2本,共余2×2+2=6(本)。
    2、一个学生分8本,其余分6本,不足18本。若将分8本这个学生也同样分6本,则不足应是18-2=16(本)。
    那么,两次分配的结果差是16+6=22(本),分配差是6-4=2(本)
    结果差÷分配差=人数
    解: 6-4=2(本) 2×2+2=6(本) 8-6=2(本) 18-2=16(本)
    (16+6)÷(6-4)
    =22÷2
    =11(人)
    4×11+6=50(本)
    答:学生有11人,练习本有50本。

    ==============================



    5、一工人加工一批机器零件,限期完成,他计划每小时做10个,还差3个零件完成任务,每小时做11个,恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个?限几小时完成?
    分析:
    每小时做10个,差3个,每小时做11个,恰好完成,那么,两次分配的结果差是3个,两次分配的数差是11-10=1(个)。根据,结果差÷分配差=限时数
    解: 3÷(11-10)
    =3÷1
    =3(小时)
    10×3+3=33(个)
    答:他加工的零件是33个,限3小时完成。

    解法二:
    ==============================

    设限X小时完成,根据第一种分法和第二种分法零件个数相等,列方程得
    11X=10X+3
    11X-10X=3
    X=3
    11×3=33(个)

    ==============================
    答:(略)


     

    第六章流水问题



    解题关键:船速:船在静水中航行速度; 水速:水流动的速度;
    顺水速度:顺水而下的速度=船速+水速;
    逆水速度:逆流而上的速度=船速-水速。
    流水问题具有行程问题的一般性质,即 速度、时间、路程。可参照行程问题解法。

    1、一只油轮,逆流而行,每小时行12千米,7小时可以到达乙港。从乙港返航需要6小时,求船在静水中的速度和水流速度?


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    分析:
    逆流而行每小时行12千米,7小时时到达乙港,可求出甲乙两港路程:12×7=84(千米),返航是顺水,要6小时,可求出顺水速度是:84÷6=14(千米),顺速-逆速=2个水速,可求出水流速度(14-12)÷2=1(千米),因而可求出船的静水速度。
    解: (12×7÷6-12)÷2
    =2÷2
    =1(千米)
    12+1=13(千米)
    答:船在静水中的速度是每小时13千米,水流速度是每小时1千米。


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    2、某船在静水中的速度是每小时15千米,河水流速为每小时5千米。这只船在甲、乙两港之间往返一次,共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千米?

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    分析:
    1、知道船在静水中速度和水流速度,可求船逆水速度 15-5=10(千米),顺水速度15+5=20(千米)。
    2、甲、乙两港路程一定,往返的时间比与速度成反比。即速度比 是 10÷20=1:2,那么所用时间比为2:1 。
    3、根据往返共用6小时,按比例分配可求往返各用的时间,逆水时间为 6÷(2+1)×2=4(小时),再根据速度乘以时间求出路程。
    解: (15-5):(15+5)=1:2
    6÷(2+1)×2
    =6÷3×2
    =4(小时)
    (15-5)×4
    =10×4
    =40(千米)
    答:甲、乙两港之间的航程是40千米。

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    3、一只船从甲地开往乙地,逆水航行,每小时行24千米,到达乙地后,又从乙地返回甲地,比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每小时3千米,甲、乙两地间的距离是多少千米?


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    分析:
    逆水每小时行24千米,水速每小时3千米,那么顺水速度是每小时 24+3×2=30(千米),比逆水提前2. 5小时,若行逆水那么多时间,就可多行 30×2. 5=75(千米),因每小时多行3×2=6(千米),几小时才多行75千米,这就是逆水时间。
    解: 24+3×2=30(千米)
    24×[ 30×2. 5÷(3×2)]
    =24× [ 30×2. 5÷6 ]
    =24×12. 5
    =300(千米)
    答:甲、乙两地间的距离是300千米。


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    4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行,顺水航行要8小时行完全程,逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米,求甲、乙两码头之间的距离?
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    分析:
    顺水航行8小时,比逆水航行8小时可多行 6×8=48(千米),而这48千米正好是逆水(10-8)小时所行的路程,可求出逆水速度 4 8÷2=24 (千米),进而可求出距离。
    解: 3×2×8÷(10-8)
    =3×2×8÷2
    =24(千米)
    24×10=240(千米)
    答:甲、乙两码头之间的距离是240千米。


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    解法二:
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    设两码头的距离为“1”,顺水每小时行 1/8,逆水每小时行1/10,顺水比逆水每小时快1/8-1/10,快6千米,对应。
    3×2÷(1/8-1/10)
    =6÷1/40
    =24 0(千米)
    答:(略)


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    5、某河有相距12 0千米的上下两个码头,每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天,从甲船上落下一个漂浮物,此物顺水漂浮而下,5分钟后,与甲船相距2千米,预计乙船出发几小时后,可与漂浮物相遇?
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    分析:
    从甲船落下的漂浮物,顺水而下,速度是“水速”,甲顺水而下,速度是“船速+水速”,船每分钟与物相距:(船速+水速)-水速=船速。所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60=1/12(小时),2÷1/12=24(千米)。因为,乙船速与甲船速相等,乙船逆流而行,速度为24-水速,乙船与漂浮物相遇,求相遇时间,是相遇路程120千米,除以它们的速度和(24-水速)+水速=24(千米)。
    解: 120÷[ 2÷(5÷60)]
    =120÷24
    =5(小时)
    答:乙船出发5小时后,可与漂浮物相遇。

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